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Filterung: Gauß-Filter

Der Gauß-Filter ist ein Tiefpassfilter. Der Tiefpassfilter lässt tiefe Frequenzen (die Form) passieren. Er filtert hohe Frequenzen (die Oberflächenrauheit) heraus.

Der Gaußfilter verwendet die Gauß’sche Glockenkurve zur Filterung.

Gauß’sche Glockenkurve

Wie funktioniert der Gauß-Filter?

Um einen Punkt „A“ zu filtern, werden die Punkte, die um ihn herumliegen, mit einbezogen.

Gauß-Filter erklärt
Gauß-Filter erklärt
  1. Ungefilterte Messdaten
  2. Gefilterte Messdaten
  3. Punkt „A“
  4. Gauß’sche Glockenkurve (Breite der Kurve hängt von der Grenzwellenlänge ab)
  5. Nachbarpunkte, die bei der Filterung von Punkt „A“ berücksichtigt werden

Jeder Punkt bekommt eine Gewichtung. Damit wird der Einfluss dieses Punktes auf die Filterung von Punkt „A“ festgelegt. Die Gauß’sche Glockenkurve legt die Gewichtung fest. Dafür richtet man die Glockenkurve mittig auf Punkt „A“ aus: Der Scheitelpunkt der Glockenkurve ist dabei Punkt „A“ zugeordnet. Der Punkt „A“ bekommt die höchste Gewichtung (= größter Einfluss), da der höchste Punkt der Glockenkurve (= Scheitelpunkt) ihm zugeordnet ist. Der Einfluss der umliegenden Punkte nimmt mit ihrer Entfernung zu Punkt „A“ ab, da die Glockenkurve vom Scheitelpunkt aus in beide Richtungen abfällt.

Gauß-Filter: letzter Punkt, der gefiltert werden kann
Gauß-Filter: letzter Punkt, der gefiltert werden kann

Das heißt, dass Punkt „A“ mit Hilfe der ihn umgebenden Punkte gefiltert wird. Das ist sinnvoll, da sich Punkt „A“ durch die Filterung besser in seine Umgebung einfügen soll. Durch den Filter sollen die Abweichungen geglättet werden.

In den o.g. Bildern liegt der gefilterte Punkt „A“ (Markierung = blauer Kreis) oberhalb des ungefilterten Punktes „A“ (Markierung = roter Kreis). Dieses Filterergebnis erklärt sich durch die Lage der Nachbarpunkte. Die Nachbarpunkte links und rechts von Punkt „A“ liegen oberhalb von Punkt „A“. Deshalb „zieht“ die Filterung den Punkt „A“ ebenfalls nach oben.

Voraussetzungen

Damit der Gauß-Filter eingesetzt werden kann, müssen einige Voraussetzungen erfüllt sein. Diese Voraussetzungen sind im folgenden aufgeführt.

Abweichungen statt Punkte

Der Gauß-Filter filtert nicht direkte Punkte. Er kann nur Abweichungen zu einer Sollform filtern. Das heißt, bevor man den Filter einsetzen kann, muss man zunächst die Abweichung von jedem einzelnen Punkt zu der Sollgeometrie (z.B. Kreis) berechnen.

Vergleich: idealer Kreis, Kreis mit Abweichungen
Vergleich: idealer Kreis, Kreis mit Abweichungen
Abweichungen mit gleichmäßigem Abstand zueinander
Abweichungen zur Sollform (hier: idealer Kreis mit Radius = 20.0 mm)

Messpunktdichte

Damit der Filter korrekt arbeiten kann, muss eine Mindestmesspunktdichte eingehalten werden. Es müssen also ausreichend Messpunkte vorhanden sein. Die notwendige Messpunktdichte hängt von der gewählten Grenzwellenlänge ab. Aus dem Abtasttheorem ergibt sich, dass mindestens sieben Messpunkte innerhalb einer Grenzwellenlänge vorhanden sein müssen (siehe (1)). Oder anders formuliert:

Maximaler Messpunktabstand = Grenzwellenlänge / 6

Gleichmäßiger Punkteabstand

Der Gaußfilter setzt voraus, dass die Messpunkte bzw. die Abweichungen einen konstanten Abstand zu einander haben. Ist dies nicht erfüllt, wäre eine Filterung mit dem Gauß-Filter zwar möglich. Das Ergebnis der Filterung wäre jedoch nicht korrekt.

Abweichungen mit gleichmäßigem Abstand zueinander
Abweichungen mit gleichmäßigem Abstand zueinander
Abweichungen mit unregelmäßigem Abstand zueinander
Abweichungen mit unregelmäßigem Abstand zueinander

Die beiden o.g. Darstellungen machen den Unterschied deutlich. Liegen die Abweichungen in einem gleichmäßigen Abstand zueinander vor, ergibt sich ein gleichmäßiges Bild der Kurve. Es sind durchaus Regelmäßigkeiten in der Kurve erkennbar. Das Bild darunter zeigt die identischen Abweichungen, allerdings nur auszugsweise und in unregelmäßigem Abstand. Dies ergibt ein verzerrtes Bild der Kurve. Diese Verzerrung würde zu einer verzerrten Filterung führen.

Nachbarpunkte

Es werden Nachbarpunkte benötigt, um einen Punkt mit dem Gauß-Filter zu filtern (s.o.). Hat ein Punkt nur auf einer Seite Nachbarpunkte, kann dieser Punkt nicht gefiltert werden (s.u.). Um genau zu sein: Ein Punkt, der gefiltert werden soll, benötigt auf beiden Seiten ausreichend Nachbarpunkte.

Gauß-Filter: Breite der Glockenkurve bestimmt den ersten zu filternden Punkt
Die Breite der Glockenkurve bestimmt den ersten Punkt, der gefiltert werden kann

Die Menge der benötigten Nachbarpunkte hängt von der gewählten Grenzwellenlänge ab. Dies ist vor allem bei offenen Messstrecken ein Problem. Dort haben die Punkte am Anfang wie auch am Ende der Messstrecke nicht ausreichend Nachbarpunkte.

Gauß-Filter: Nicht ausreichend Nachbarpunkte - Punkt kann nicht gefiltert werden
Größere Grenzwellenlänge: Punkt kann nicht mehr gefiltert werden, da nicht ausreichend Nachbarpunkte

Bei einer offenen Messstrecke ist es deshalb notwendig, mit einem Vorlauf und einem Nachlauf zu messen, damit ausreichend Nachbarpunkte für Beginn und Ende der zu filternden Strecke vorhanden sind.

Bei einer geschlossenen Messstrecke (z.B. Kreismessung) tritt dieses Problem nicht auf, weil dort Anfangs- und Endpunkt identisch sind. Folglich hat jeder Punkt immer ausreichend Nachbarpunkte.

Weiterführende Literatur

DIN EN ISO 16610 – 21 „Geometrische Produktspezifikation (GPS) – Filterung – Teil 21: Lineare Profilfilter: Gauß-Filter

VDI/VDE 2631-3 „Formmesstechnik – Eigenschaften und Auswahl von Filtern

M. Hernla, „Anwendung von Filtern bei der Auswertung gemessener Oberflächenprofile“ , 1999

Quellen

(1) VDI/VDE 2631-3 „Formmesstechnik – Eigenschaften und Auswahl von Filtern

Von Klaus Stein

Ich bin seit 20 Jahren in der Softwareentwicklung und in der Koordinatenmesstechnik tätig.
Da ich mich speziell um die Software für die Verzahnungsmesstechnik kümmere, ist das ebenfalls ein Themenschwerpunkt.